Gentzen : Ejercicios resueltos de deducción natural para poner en prácticas las reglas de inferencia:

Resuelva los siguientes ejercicios mediante el método de deducción natural propuesto por Gentzen para lógica de predicados con identidad y descripciones aplicando las reglas básicas de inferencia expuestas en la teoría de la demostración:

NIVEL 1

[Ejercicio 25]		[Ejercicio 26]
-1.∀x(Px→ Qx)	⊦Qb	1. ∃x∀x(ιxPx=x ^ y≠x)	⊦Qa
-2. Pa
-3. b=a
4. Pa → Qa	E∀1
5. Qa	E→2,4
6. ∀x(x=a →Qx)	I=5
7. b=a → Qb	E∀6 (x:b)
8. Qb	E→3,7

NIVEL 2

[Ejercicio 27]			[Ejercicio 28]
		⊦∀xyz[(x≠y)^(y=z) → (x≠z)]	-1. a=ιxPx	⊦PιxPx
┌	-1. (a≠b)^(b=c)		-2.∀x(Qx→ ¬Px)
|	2. ∀xy((x≠y)^(y=z) → (x≠z)]	L. Leibniz
|	3. (a≠b)^(c=b)→ a≠c	E∀2 (x:a; y:c)
|	4. b=c	E^1
|	5. ∀xy(x=y →y=x)	L. Sim =
|	6. b=c → c=b	E∀5(x:b; y:c)
|	7. c=b	E→6,4
|	8. a≠b	E^1
|	9. a≠b ^ c=b	I^8,7
|	10. a ≠c	E→3,9
┗	11. (a≠b)^(b=c)→ a≠c	I→1-10
	12. ∀xyz[(x≠y)^(y=z) → (x≠z)]	i∀11(a:x, b:y, c:z)

NIVEL 3

[Ejercicio 29]		[Ejercicio 30]
1. ¬∃x∃y(x≠y)	⊦∃xPx→∀xPx	-1.∀x(Sx→ Qx)		⊦a≠ιxFx
		-2.∀x(¬Px→ ¬Qx)
		-3.SιxPx
		-4. ¬Pa
		┌	5. a=ιxFx
		|	6. ∀x(x=ιxFx → Sx)	I=3
		|	7. a=ιxFx → Sa	E∀6
		|	8. Sa	E→5,7
		|	9. Sa → Qa	E∀1
		|	10.Qa	E→8,9
		|	11. ¬Pa → ¬Qa	E∀2
		|	12. ¬Qa	E→4,11
		┗	13. Qa ^ ¬Qa	I^10, 12
		14. ¬(a=ιxFx)		I¬5-13

 

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